Difracción de electrones

La naturaleza cuántica de los sistemas físicos, descritos por ondas de probabilidad, implica una relación entre su longitud de onda λ y su momento lineal p (medidos en un sistema de referencia dado). Esta relación, propuesta por Louis De Broglie en 1914, antes de la formulación de la teoría cuántica, se expresa en la forma:

λ = h/p [Ec. 1]

Siendo h la llamada constante de Planck: h = 6.626 x 10-34 J.s.

Según esta expresión un electrón (masa del electrón: mc2 = 511 keV) acelerado por una diferencia de potencial entre 1 y 10 kV, es decir con una energía cinética entre 1 y 10 keV, a la cual corresponde un momento p entre 32 y 101 keV/c, tiene una longitud de onda λ entre 0.39 A y 0.12 A. En el caso de fotones estos valores para λ están en el rango de los rayos X. Por tanto electrones con estas energías podrán exhibir fenómenos de interferencia análogos a los que presentan los rayos X.

Uno de los fenómenos ondulatorios más característicos de los rayos X es su dispersión por cristales (sólidos cristalinos) con distancias interatómicas comparables a su longitud de onda. Se trata de la denominada dispersión o difracción de Bragg que analizaremos para su aplicación a electrones.

Dispersión o difracción de Bragg

En 1912, W. Friedrich y P. Knipping, a partir de una sugerencia de M. Von Laue, hicieron que un haz colimado de rayos X pasase a través de un cristal detrás del cual se había colocado una placa fotográfica. Además de un haz central (correspondiente a la dirección incidente) observaron en la placa una distribución regular de puntos. Este patrón fue explicado ese mismo año por William Lawrence Bragg por lo que al fenómeno se le dio el nombre de dispersión o difracción de Bragg.

Este experimento confirmó dos hipótesis importantes: i) que los rayos X son una forma de radiación electromagnética y ii) que los átomos de un cristal están distribuidos en una red regular.

La interferencia de dos rayos puede darse después de ser dispersados por una serie de planos paralelos en los que se encuentran los átomos de un cristal. (hay diversas series de planos paralelos, ver Fig. 2). Dicha interferencia será constructiva (los rayos estarán en fase, intensidad máxima resultante, punto “brillante” en la pantalla) en las siguientes condiciones:

- Ambos rayos han de ser dispersados con el mismo ángulo con el que incidieron (α en la figura 1) independientemente de la longitud de onda, según la ley de reflexión de las ondas electromagnéticas.

- Entre los dos rayos dispersados por dos átomos en planos paralelos (incluyendo el caso del mismo plano) con ángulos iguales ha de haber una diferencia de caminos recorridos de un número entero de longitudes de onda, con lo cual, como muestra la figura 1, es fácil ver que:

2d sinѲ = n λ [Ec. 2]

siendo d la distancia interplanar para la serie de planos considerada, Ѳ = π/2 - α y n un número entero indicador del orden de la interferencia.

La Ec. 2 se conoce como condición de Bragg. Notar que para el orden dominante, n = 1 y λ dada, cada serie de planos paralelos, caracterizada por su distancia interplanar, sólo da lugar a interferencia constructiva (un punto en la pantalla) para un determinado angulo Ѳ.

Fig. 1.- Esquema donde se muestra que para interferencia constructiva entre dos rayos, que son dispersados por átomos en dos planos atómicos paralelos, la diferencia de caminos – línea­­ gruesa en color azul – es 2dsinѲ

Difracción de electrones

Análogamente a los rayos X los electrones pueden experimentar dispersión de Bragg. Si en vez de un cristal se usa como dispersor un sólido como el grafito, formado por microcristales con todas las orientaciones posibles, en la pantalla se observarán anillos de interferencia constructiva en lugar de puntos. Ello se debe a un efecto acumulativo: la dispersión por una serie de planos paralelos en un microcristal producirá, para un orden dado, un punto de interferencia constructiva en la pantalla; el conjunto de microcristales orientado simétricamente alrededor del eje determinado por la dirección del haz inicial dará lugar a la formación de un anillo. Por tanto por cada serie de planos paralelos (caracterizada por su distancia interplanar) en un microcristal se tendrá un conjunto de anillos, un anillo por cada orden de la interferencia.

Fig. 2.- Dibujo esquemático de un conjunto de átomos en un microcristal de grafito. En la distribución superior se observa una serie deplanos atómicos diferente a la de la distribución inferior. La distancia entre los dos planos de la distribución superior es la que llamamos d1, mientras que la de la inferior es d2.

Observación experimental: tubo de rayos catódicos

Un Tubo de difracción de electrones es un tubo de rayos catódicos en el cual electrones producidos mediante efecto termoiónico, por calentamiento de un filamento, son acelerados por una diferencia de potencial V y dispersados por una lámina de grafito. Los electrones salientes viajan por el interior de una ampolla esférica de vidrio en la que se ha hecho el vacío (para evitar colisiones de los mismos con moléculas de aire) hasta alcanzar el extremo de la ampolla en el cual hay una película de un material fluorescente. Cada impacto electrónico en ésta produce un punto luminoso por lo que la película juega el papel de pantalla en la que se proyectará el patrón de difracción.

Fig. 3.- Dibujo esquemático del Tubo de difracción de electrones.

Alfonso Herrera
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Electron Diffraction

The wave-particle duality of nature results in particles having both wave-like and particle-like properties. The wave-like properties of objects means that we can perform diffraction using them, as with X-ray photons. However, this time we extend from massless particles to those with mass, including the electron and the neutron.

In this case, the wavelength of an electron is given by the de Broglie relation, as shown in Equation (1)

(1)

where h is Planck's constant and p is the electron momentum. As the momentum is related to the velocity and, in turn, the velocity is dependent upon the accelerating force i.e. an electric potential we see that Equation (1) can be written

where

is the mass of the electron and U is the electric potential through which the electron is accelerated. Note that relativistic effects are ignored here.

As both LEED and RHEED are surface sensitive techniques note that the Ewald spherechanges. For a bulk structure, which has periodicity in three dimensions the solutions to the Ewald sphere result in spots. However, the loss of periodicity in one dimension, perpendicular to the plane of the surface, causes these spots to elongate into infinitely long rods that extend outwards from the surface as illustrated in Figure (1). The techniques described below, LEED and RHEED, both view the Ewald sphere in subtly different ways.

Figure (1): The Ewald sphere in both two- and three-dimensions showing the change in reciprocal lattice points to rods. The dashed horizontal line on the 2-D plot represents the surface, electron paths above this are back-scattered. Correspondingly, below the line represents forward-scattering into the crystal. a* is the reciprocal lattice vector and ki is the incident electron wavevector, θD is the diffraction angle.

LEED (Low Energy Electron Diffraction)

In LEED the electrons used have energies in the range of 20 to 100 eV. At 20 eV these electrons have mean free paths of approximately 5 Å and wavelengths of around 3 Å [1]. The surface of a crystal is typically only 10 Å thick, with a lattice parameter of approximately 5 Å and so the electrons are well suited for the study of surfaces.

Figure (2): Schematic of a typical LEED optics set-up

The typical layout of LEED optics, set to operate as a retarding field analyser (RFA), is illustrated in Figure (2). Electrons back-scattered from the surface travel towards a series of grids. The inner grid, closest to the sample, is held at ground and screens the potentials of the outer grids. The central grids are held at the same potential as the electron gun, VE but features an offset δV, which is typically of the order 10 V. This potential filters out electrons who have an energy lower than eVE, the incident electron energy. Another earthed grid filters out the large potential of the screen, which is held at +5 kV and accelerates electrons towards a fluorescent screen. The large screen potential provides scattered electrons with a large enough kinetic energy, so that a LEED pattern will be produced. The diffraction pattern then seen is a magnified version of the surface reciprocal lattice.

Due to the geometry of this arrangement the incident electron wavevector effectively looks 'down' on the Ewald sphere and views the infinitely long rods as spots, giving rise to the characteristic spot patterns seen. A side-effect of the extension of lattice points into rods is that as the incident electron energy is varied spots do not go extinct but instead move. This provides a useful tool in the determination of surface structure and atomic positions. By studying the intensity of a spot and it location over a range of energies, then the position of atoms on the surface can be studied due to their effect on the scattered electrons. This is known as LEED I-V.

The energy distribution of emitted electrons is shown in Figure (3).

Figure (3): Energy distribution of back-scattered electrons in LEED, reproduced from (2).

Peak (A), centred around the incident electron energy E, is the elastically back-scattered peak and is of interest in LEED studies whereas peak (B) is the secondary electron peak which arises from inelastically scattered electrons and is not of interest. Through the introduction of the offset voltage, δV, any electrons with an energy equal to or lower than are filtered out and are not detected.

RHEED (Reflection High-Energy Electron Diffraction)

In RHEED electrons of between 8 and 20 keV impinge upon a surface at angles of approximately 1o - 3o. A typical RHEED set-up consists of an electron gun, sample and a phosphor screen and a typical geometry is illustrated on the MBE page. Using this geometry, RHEED provides the unique ability to monitor growth on a surface in real-time whilst the grazing incidence of the electron beam ensures surface specificity.

In RHEED the electron beam 'slices' through the reciprocal lattice rods, giving RHEED patterns a unique streaky pattern. Due to variations in the energy and angular divergence of the incident electron beam, the rods gain a finite width. As the electron beam intersects these rods they form streaks. The shape of the RHEED pattern observed provides a variety of information regarding the periodicity and structure of the surface. A 'spotty' pattern may be the result of transmission electron diffraction through 3D islands, with angled streaks indicating a faceted surface. Oscillations in the pattern intensity can be used to obtain the growth rate of layers during Frank-van der Merwe growth. As each monolayer completes the intensity of streak increases towards its maximum, representing the ordered nature of the complete layer. The period of this oscillation is representative of the time taken to complete each layer and from this a growth rate can be deduced.

SAED (Selected Area Electron Diffraction)

Due to the high energy electrons used in TEM, often of the order picometres, we can also use TEM as a diffraction imaging technique. The tightly focused electron beam used in TEM allows for diffraction of smaller crystal grains and is useful in the study of poly-crystalline material, enabling the characterisation of multiple crystallographically orientated micro-crystals. As with TEM the sample must be electron transparent, i.e. sufficiently thin for electrons to pass through, however, the sample does not necessarily need to be crystalline. Amorphous samples can also provide a diffuse diffraction pattern, as can polycrystalline materials (over larger areas). By combining standard imaging and SAED, TEM can be used to study the crystal nature of a material in great detail.

Alfonso Herrera
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Reflection High Energy Electron Diffraction (RHEED)

Low Energy Electron Diffraction (LEED) utilizes the inherent surface sensitivity associated with low energy electrons in order to sample the surface structure. As the primary electron energy is increased not only does the surface specificity decrease but two other effects are particularly noticeable

1. forward scattering becomes much more important (as opposed to the backward scattering observed in LEED)

2. the scattering angle (measured from the incident beam direction) tends towards 180 degrees for back-scattering and 0 degrees for forward scattering.

In order to extract surface structural information from the diffraction of high energy electrons, therefore, the technique has to be adapted and the easiest way of doing this is to use a reflection geometry in which the electron beam is incident at a very grazing angle - it is then known as Reflection High Energy Electron Diffraction (RHEED).

The diagram above shows the basic set-up for a RHEED experiment, with the sample viewed edge-on. In practice the display screen is usually a phosphor coating on the inside of a vacuum window (viewport) and the diffraction pattern can be viewed and recorded from the atmospheric side of the window. The small scattering angles involved are compensated for by using relatively large sample/screen distances.

The sample can be rotated about its normal axis so that the electron beam is incident along specific crystallographic directions on the surface.

In order to understand the diffraction process we need to consider how the electron beam can interact with the regular array of surface atoms in this experimental geometry. It is worth noting, however, that the use of glancing incidence ensures that, despite the high energy of the electrons, the component of the electron momentum perpendicular to the surface is small. Under these conditions an electron may travel a substantial distance through the solid (in accord with the much longer mean free path of such high energy electrons) without penetrating far into the solid. The technique, consequently, remains surface sensitive.

In addition to the change in momentum of the electron perpendicular to the surface, which leads to the apparent reflection, the diffraction process may also lead to a change in momentum parallel to the surface, which leads to the deflection by an angle θ when looked at in plan view. Constructive interference occurs when the path difference between adjacent scattered "rays" ( a sin θ ) is an integral number of wavelengths (i.e. the same basic condition as for LEED). This gives rise to a set of diffracted beams at various angles on either side of the straight through (specularly reflected) beam.

What, if any, advantages does RHEED offer over LEED ?

In terms of the quality of the diffraction pattern absolutely none ! - moreover, diffraction patterns have to be observed for at least two sample alignments with respect to the incident beam in order to determine the surface unit cell. However , ....

1. The geometry of the experiment allows much better access to the sample during observation of the diffraction pattern. This is particularly important if it is desired to make observations of the surface structure during growth of a surface film by evaporation from sources located normal to the sample surface or simultaneous with other measurements (e.g. AES, XPS).

2. Experiments have shown that it is possible to monitor the atomic layer-by-atomic layer growth of epitaxial films by monitoring oscillations in the intensity of the diffracted beams in the RHEED pattern.

By using RHEED it is therefore possible to measure, and hence also to control, atomic layer growth rates in Molecular Beam Epitaxy (MBE) growth of electronic device structures - this is by far and away the most important application of the technique.

Alfonso Herrera
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DIFRACCIÓN DE LOS ELECTRONES DE BAJA ENERGÍA

LA HISTORIA de la Difracción de electrones de baja energía o LEED (Low Energy Electron Diffraction) se remonta a las épocas en las que se empezaba a comprender la dualidad onda-partícula de entidades como el electrón. Si el electrón tuviera comportamiento ondulatorio entonces podría ser difractado. La teoría vino a poner esto claramente de manifiesto como consecuencia de la mecánica ondulatoria (1924) de Louis de Broglie, que extendía la dualidad onda-partícula que Einstein había descubierto para el caso de los fotones y que hacia los años veinte estaba bien establecida lo mismo que el efecto fotoeléctrico, en el que los fotones arrancan electrones; la difracción de rayos X por parte de los cristales había sido experimentalmente demostrada desde 1912. Los trabajos de Bragg acerca de la aplicación de la difracción de rayos X en la cristalografía tenían más de diez años.

Realmente la historia del LEED se encuentra enraizada en una época grandiosa de la física. Los haces electrónicos habían sido logrados en el laboratorio desde los últimos años del siglo pasado. Si efectivamente De Broglie tenía razón y electrones con diferentes energías tenían diferentes longitudes de onda, todo lo que se necesitaba era calcular la energía necesaria para que la longitud de onda fuera de las dimensiones de la distancia entre planos cristalinos. Resultaba que la energía necesaria para los electrones debía ser del orden de 100 eV. La receta, como se ha contado aquí, terminaría diciendo "aplíquese entonces un haz de electrones de 100 eV a un cristal y obsérvese la difracción producida".

Pero no, la historia no fue como se ha contado en el párrafo anterior. Como ha pasado muchas veces en la historia de la ciencia, el descubrimiento de la difracción de electrones por parte de un cristal fue un accidente.

Davisson y Germer trabajaban en los Laboratorios Bell con una muestra de níquel policristalino. Esto quiere decir que no se trataba de una muestra con sus planos bien ordenaditos sino que sería tanto corno tener muchos pequeños cristales. Así, donde termina la superficie no se tiene una superficie única. Al estar calentando la muestra, la cámara de vidrio tronó, dejando entrar la atmósfera a la región de vacío. Rápidamente el níquel se contaminó con oxígeno, formándose óxidos en su superficie. Después de conseguir una nueva campana de vacío, procedieron a limpiar la muestra calentándola en una atmósfera de hidrógeno, proceso llamado de reducción. Pues bien, el proceso impuesto a la muestra, con una fuerte oxidación seguida de la reducción, produjo una extensa recristalización de manera que la muestra presentaba una superficie bien ordenada, simulando un monocristal. Si previamente Davisson y Germer creían que la dependencia angular del esparcimiento electrónico se debía a efectos intra-atómicos, al llevar a cabo la experiencia con la "nueva" muestra, se dieron cuenta de que los efectos eran debidos al orden cristalino.

La historia sigue. Los grandes se juntan en Oxford en 1926. Se levanta Max Born y deja sorprendido a Davisson al señalar que unos experimentos que éste había realizado previamente tenían que ver con la mecánica ondulatoria. Davisson y Germer se lanzan a trabajar para comprobar la aseveración de Born y establecer si en verdad los electrones cumplían la relación entre longitud de onda y cantidad de movimiento establecida por De Broglie. Publican sus resultados en 1927 tanto en la revista inglesa Nature como en la estadounidense The Physical Review.

En la reunión de Oxford también estaba Thomson, quien se unió a la búsqueda de las propiedades ondulatorias del electrón e inmediatamente se puso a trabajar en la dirección marcada por Max Born: modificó, con la ayuda de A. Reid, su instrumentación de forma que pudiera producir haces de electrones, que por otra parte tenían más energía que los que usaban Davisson y Germer. Thomson y Reid publicaron su artículo, donde mostraban pruebas experimentales de la naturaleza ondulatoria del electrón, en Nature, sólo que salió un mes más tarde que el artículo de Davisson y Germer. Diez años después Thomson y Davisson compartieron el premio Nobel.

COMO LOS RAYOS X PERO EN SUPERFICIES

Como se mencionó más arriba, desde 1912 Bragg había desarrollado sus trabajos para lograr la aplicación de la difracción de rayos X a la cristalografía. En el caso de electrones de baja energía, lo que se hace en las superficies es análogo a lo que hacen los rayos X en la cristalografía de tres dimensiones. Esto suena a la receta del oso à la Orange: se mata el oso y se prepara como el pato à la orange. Lo que queremos decir es que los principios envueltos son los mismos. Al difractarse los rayos X o los electrones en un sistema ordenado se obtienen familias de puntos brillantes llamadas patrones de difracción. Se conoce en la actualidad qué estructuras producirían qué patrones de difracción. De esta manera es posible saber, a partir del patrón de difracción, cuál es la estructura de la superficie. En la figura 1 se muestran los patrones de difracción que se obtienen al hacer incidir electrones de baja energía en la dirección normal a la superficie (111) de platino. Como puede verse de estos patrones de difracción, esta superficie tiene una geometría hexagonal. Las cuatro figuras corresponden a diferentes valores de la energía incidente de los electrones. Se puede demostrar de forma sencilla que entre mayor sea la energía de los electrones, más cercanos a la normal estarán los puntos brillantes.

Figura 1. Fotografías de patrones de difracción de electrones de baja energía en la superficie (111) de platino. Las fotografías corresponden a diferentes energías de los electrones. (Cortesía de G. Somorjai y M. Van Hove).

Sin embargo, la difracción producida por una superficie puede proporcionar mucho más información. Es posible, por ejemplo, conocer si la superficie está escalonada, si hay defectos estructurales, cómo están las terrazas, si hay reconstrucción; etcétera.

Se puede aplicar la difracción de electrones de baja energía en combinación con un espectrómetro Auger, lo que permite conocer al mismo tiempo las características químicas de los átomos que constituyen la estructura superficial estudiada.

Alfonso Herrera
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Reflection high energy electron diffraction

Reflection high-energy electron diffraction (RHEED) is a technique used to characterize the surface of crystalline materials. RHEED systems gather information only from the surface layer of the sample, which distinguishes RHEED from other materials characterization methods that rely also on diffraction of high-energy electrons. Transmission electron microscopy, another common electron diffraction method samples the bulk of the sample due to the geometry of the system. Low energy electron diffraction (LEED) is also surface sensitive, but LEED achieves surface sensitivity through the use of low energy electrons.

A RHEED system (MBE) requires an electron source (gun), photoluminescent detector screen and a sample with a clean surface, although modern RHEED systems have additional parts to optimize the technique. The electron gun generates a beam of electrons which strike the sample at a very small angle relative to the sample surface. Incident electrons diffract from atoms at the surface of the sample, and a small fraction of the diffracted electrons interfere constructively at specific angles and form regular patterns on the detector. The electrons interfere according to the position of atoms on the sample surface, so the diffraction pattern at the detector is a function of the sample surface. Figure 1 shows the most basic setup of a RHEED system.

Figure 1.

Surface diffraction

In the RHEED setup, only atoms at the sample surface contribute to the RHEED pattern. The glancing angle of incident electrons prevents them from escaping the bulk of the sample and reaching the detector. Atoms at the sample surface diffract (scatter) the incident electrons due to the wavelike properties of electrons.

The diffracted electrons interfere constructively at specific angles according to the crystal structure and spacing of the atoms at the sample surface and the wavelength of the incident electrons. Some of the electron waves created by constructive interference collide with the detector, creating specific diffraction patterns according to the surface features of the sample. Users characterize the crystallography of the sample surface through analysis of the diffraction patterns. Figure 2 shows a RHEED pattern.

Figure 2.

Two types of diffraction contribute to RHEED patterns. Some incident electrons undergo a single, elastic scattering event at the crystal surface, a process termed kinematic scattering. Dynamic scattering occurs when electrons undergo multiple diffraction events in the crystal and lose some of their energy due to interactions with the sample. Users extract non-qualitative data from the kinematically diffracted electrons. These electrons account for the high intensity spots or rings common to RHEED patterns. RHEED users also analyze dynamically scattered electrons with complex techniques and models to gather quantitative information from RHEED patterns.

Kinematic scattering analysis

RHEED users construct Ewald's spheres to find the crystallographic properties of the sample surface. Ewald's spheres show the allowed diffraction conditions for kinematically scattered electrons in a given RHEED setup. The diffraction pattern at the screen relates to the Ewald's sphere geometry, so RHEED users can directly calculate the reciprocal lattice of the sample with a RHEED pattern, the energy of the incident electrons and the distance from the detector to the sample. The user must relate the geometry and spacing of the spots of a perfect pattern to the Ewald's sphere in order to determine the reciprocal lattice of the sample surface.

The Ewald's sphere analysis is similar to that for bulk crystals, however the reciprocal lattice for the sample differs from that for a 3D material due to the surface sensitivity of the RHEED process. The reciprocal lattices of bulk crystals consist of a set of points in 3D space. However, only the first few layers of the material contribute to the diffraction in RHEED, so there are no diffraction conditions in the dimension perpendicular to the sample surface. Due to the lack of a third diffracting condition, the reciprocal lattice of a crystal surface is a series of infinite rods extending perpendicular to the sample’s surface. These rods originate at the conventional 2D reciprocal lattice points of the sample’s surface.

The Ewald's sphere is centered on the sample surface with a radius equal to the reciprocal of the wavelength of the incident electrons. The relationship is given by

where λ is the wavelength of incident electrons.

Diffraction conditions are satisfied where the rods of reciprocal lattice intersect the Ewald's sphere. Therefore, the magnitude of a vector from the origin of the Ewald's sphere to the intersection of any reciprocal lattice rods is equal in magnitude to that of the incident beam. Equation 2 shows this relationship.

k0 = ki (2)

Where: k0=incident electron wave vector

ki=electron wave vector at any intersection of reciprocal lattice with Ewald's sphere

An arbitrary vector, G, defines the reciprocal lattice vector between the ends of any two k vectors. Vector G is useful for finding distance between arbitrary planes in the crystal. Vector G is calculated using Equation 3.

G = ki − k0 (3)

Figure 3 shows the construction of the Ewald's sphere and provides examples of the G, K and K0 vectors.

Figure 3.

Many of the reciprocal lattice rods meet the diffraction condition, however the RHEED system is designed such that only the low orders of diffraction are incident on the detector. The RHEED pattern at the detector is a projection only of the k vectors that are within the angular range that contains the detector. The size and position of the detector determine which of the diffracted electrons are within the angular range that reaches the detector, so the geometry of the RHEED pattern can be related back to the geometry of the reciprocal lattice of the sample surface through use of trigonometric relations and the distance from the sample to detector.

The k vectors are labeled such that the k vector that forms the smallest angle with the sample surface is called 0th order beam. The 0th order beam is also known as the specular beam. Each successive intersection of a rod and the sphere further from the sample surface is labeled as a higher order reflection. The center of the Ewald's sphere is positioned such that the specular beam forms the same angle with the substrate as the incident electron beam. The specular point has the greatest intensity on a RHEED pattern and is labeled the (00) point on the by convention. The other points on the RHEED pattern are indexed according to what the reflection order they project.

The radius of the Ewald's sphere is much larger than the spacing between reciprocal lattice rods because the incident beam has a very short wavelength due to its high-energy electrons. Rows of reciprocal lattice rods actually intersect the Ewald's sphere as an approximate plane because identical rows of parallel reciprocal lattice rods sit directly in front and behind the single row shown. Figure 3 shows a cross sectional view of a single row of reciprocal lattice rods filling of the diffraction conditions. The reciprocal lattice rods in Figure 3 show the end on view of these planes, which are perpendicular to the computer screen in the figure.

The intersections of these effective planes with the Ewald's sphere forms circles, called Laue circles. The RHEED pattern is a collection of points on the perimeters of concentric Laue circles around the center point. However, interference effects between the diffracted electrons still yield strong intensities at single points on each Laue circle. Figure 4 shows the intersection of one of these planes with the Ewald's Sphere.

Figure 4.

The azimuthal angle affects the geometry and intensity of RHEED patterns. The azimuthal angle is the angle at which the incident electrons intersect the ordered crystal lattice on the surface of the sample. Most RHEED systems are equipped with a sample holder that can rotate the crystal around an axis perpendicular to the sample surface. RHEED users rotate the sample to optimize the intensity profiles of patterns. Users generally index at least 2 RHEED scans at different azimuth angles for reliable characterization of the crystal’s surface structure. Figure 5 shows a schematic diagram of an electron beam incident on the sample at different azimuth angles.

Figure 5.

Users sometimes rotate the sample around an axis perpendicular to the sampling surface during RHEED experiments to create a RHEED pattern called the azimuthal plot. Rotating the sample changes the intensity of the diffracted beams due to their dependence on the azimuth angle. RHEED specialists characterize film morphologies by measuring the changes in beam intensity and comparing these changes to theoretical calculations, which can effectively model the dependence of the intensity of diffracted beams on the azimuth angle.

Dynamic scattering analysis

The dynamically, or inelastically, scattered electrons provide several types of information about the sample as well. The brightness or intensity at a point on the detector depends on dynamic scattering, so all analysis involving the intensity must account for dynamic scattering. Some inelastically scattered electrons penetrate the bulk crystal and fulfill Bragg diffraction conditions. These inelastically scattered electrons can reach the detector to yield kikuchi diffraction patterns, which are useful for calculating diffraction conditions. Kikuchi patterns are characterized by lines connecting the intense diffraction points on a RHEED pattern. Figure 6 shows a RHEED pattern with visible Kikuchi lines.

Figure 6.

RHEED system requirements

Electron gun

The electron gun is the most important piece of equipment in a RHEED system. The gun limits the resolution and testing limits of the system. Tungsten filaments are the primary electron source for the electron gun of most RHEED systems due to the low work function of tungsten. In the typical setup, the tungsten filament is the cathode and a positively biased anode draws electrons from the tip of the tungsten filament.

The magnitude of the anode bias determines the energy of the incident electrons. The optimal anode bias is dependent upon the type of information desired. At large incident angles, electrons with high energy can penetrate the surface of the sample and degrade the surface sensitivity of the instrument. However, the dimensions of the Laue zones are proportional to the inverse square of the electron energy meaning that more information is recorded at the detector at higher incident electron energies. For general surface characterization, the electron gun is operated the range of 10-30 keV.

In a typical RHEED setup, one magnetic and one electric field focus the incident beam of electrons. A negatively biased Wehnelt electrode positioned between the cathode filament and anode applies a small electric field, which focuses the electrons as they pass through the anode. An adjustable magnetic lens focuses the electrons onto the sample surface after they pass through the anode. A typical RHEED source has a focal length around 50 cm. The beam is focused to the smallest possible point at the detector rather than the sample surface so that the diffraction pattern has the best resolution.

Phosphor screens that exhibit photoluminescence are widely used as detectors. These detectors emit green light from areas where electrons hit their surface and are common to TEM as well. The detector screen is useful for aligning the pattern to an optimal position and intensity. CCD cameras capture the patterns to allow for digital analysis.

Sample surface

The sample surface must be extremely clean for effective RHEED experiments. Contaminants on the sample surface interfere with the electron beam and degrade the quality of the RHEED pattern. RHEED users employ two main techniques to create clean sample surfaces. Small samples can be cleaved in the vacuum chamber prior to RHEED analysis. The newly exposed, cleaved surface is analyzed. Large samples, or those that are not able to be cleaved prior to RHEED analysis can be coated with a passive oxide layer prior to analysis. Subsequent heat treatment under the vacuum of the RHEED chamber removes the oxide layer and exposes the clean sample surface.

Vacuum requirements

Because gas molecules diffract electrons and affect the quality of the electron gun, RHEED experiments are performed under vacuum. The RHEED system must operate at a pressure low enough to prevent significant scattering of the electron beams by gas molecules in the chamber. At electron energies of 10keV, a chamber pressure of 10-5 mbar or lower is necessary to prevent significant scattering of electrons by the background gas. In practice, RHEED systems are operated under ultra high vacuums. The chamber pressure is minimized as much as possible in order to optimize the process. The vacuum conditions limit the types of materials and processes that can be monitored in situ with RHEED.

Alfonso Herrera
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Difracción de Fresnel

La Difracción de Fresnel o también difracción del campo cercano es un patrón de difracción de una onda electromagnética obtenida muy cerca del objeto causante de la difracción (a menudo una fuente o apertura). Más precisamente, se puede definir como el fenómeno de difracción causado cuando el número de Fresnel es grande y por lo tanto no puede ser usada la aproximación Fraunhofer (difracción de rayos paralelos).

Geometría de la difracción, mostrando los planos de la apertura (un objeto difractor) y de la imagen con un sistema de coordenadas.

La integral de Difracción de Fresnel

El patrón de difracción del campo eléctrico en el punto (x, y, z) está dado por:




Donde

Es la unidad imaginaria,

Y

Es el coseno del ángulo entre z y r.


La solución analítica de esta integral es imposible excepto para las geometrías de difracción más simples. Por lo tanto esta integral se deberá, para otros casos, calcular numéricamente.

La difracción de Fresnel

La condición de validez es algo débil y permite que los parámetros de dimensión del obstáculo tengan valores comparables: la apertura es pequeña comparada con el camino óptico. De esta forma es interesante investigar en el comportamiento del campo eléctrico sólo en una pequeña porción de área cercana al origen de la fuente luminosa, es decir para valores de x e y mucho más pequeños que z, en este caso se puede asumir que
, esto viene a significar que:

De esta forma, al igual que la difracción de Fraunhofer, la difracción de Fresnel ocurre debido a la curvatura del frente de onda. Para la difracción Fresnel el campo eléctrico en un punto ubicado en (x, y, z) está dado por:

Esta es la integral de difracción de Fresnel; y viene a significar que si la aproximación de Fresnel es válida, el campo propagado es una onda esférica, originada en la apertura y moviéndose a lo largo del eje Z. La integral modula la amplitud y la fase de una onda esférica. La solución analítica de esta expresión es sólo posible en casos muy raros. Para casos muy simples, en los que hay distancias muchos más grandes debe verse la difracción de Fraunhofer.


Alfonso Herrera
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Microscopio electrónico de transmisión (TEM)

Los microscopios electrónicos más sencillos constan de dos lentes formadoras de la imagen de forma muy parecida a los microscopios ópticos convencionales. La iluminación proviene de un cañón de electrones emitidos por un filamento de W o LaB6. Los electrones son acelerados al aplicar un potencial negativo (100 kV - 1000 kV) y focalizados mediante dos lentes condensadores sobre una muestra delgada, transparente a los electrones.

Después de pasar a través de la muestra los electrones son recogidos y focalizados por la lente objetivo dentro de una imagen intermedia ampliada. La imagen es ampliada aún más gracias a las lentes proyectoras, las cuales controlan la ampliación de la imagen en la pantalla fluorescente. La imagen final se proyecta sobre una pantalla fluorescente o una película fotográfica.

Un TEM de dos lentes puede llegar a aumentar la imagen alrededor de 1000 veces. El poder de resolución podría llegar hasta 5 nm siempre y cuando se consiguiera aumentos de ´50.000 lo que es posible utilizando un vidrio de aumento sobre la imagen fluorescente en el microscopio, o un incremento fotográfico de la imagen registrada en la película.

Los microscopios de gran resolución (tres lentes generadoras de imagen) son capaces de ampliar la imagen hasta 500.000 veces y tienen poderes de resolución de unas fracciones de nm. Normalmente poseen aumentos de entre ´1000 - ´200.000 ó de ´2500 - ´500.000.

Modos de formación de la imagen: existen diferentes modos de formación de la imagen en un microscopio de transmisión: si la imagen se forma a partir del haz transmitido, que no ha sufrido dispersión, entonces la imagen del objeto es oscura sobre un fondo brillante. Si, por el contrario, se utilizan los electrones dispersados en este caso la imagen aparece brillante sobre un fondo oscuro. Por ello estas dos técnicas se denominan formación de imagen en campo claro y en campo oscuro respectivamente, la primera es la más utilizada.

Por otra parte con este microscopio se puede obtener un diagrama de difracción de la muestra, lo que nos aporta una valiosa información sobre la estructura cristalina de la misma. Esto es posible si hacemos incidir el haz de electrones sobre un cristal con un ángulo capaz de satisfacer la ley de Bragg para una determinada distancia entre planos atómicos dhkl. Ya que la longitud de onda de los electrones es muy pequeña ese ángulo también lo es por lo que el haz debe incidir prácticamente paralelo a los planos reticulares. El diagrama de difracción está formado por los puntos de corte de los haces difractados y transmitido con el plano de la pantalla. Representa, por tanto, la sección de la red recíproca del cristal en el plano normal al haz de electrones.

La posibilidad de combinar la difracción de electrones con los distintos modos de formación de la imagen hace del microscopio de transmisión una de la mejores herramientas en el estudio de la red cristalina y sus defectos. Se utiliza fundamentalmente en dos campos: el de las Ciencias de Materiales en el que analizan semiconductores, metales, aleaciones, aislantes, cerámicas, etc. y en el campo de la Biología en el que se estudian bacterias, virus, macromoléculas, tejidos, etc.

1. Sección de fibras de asbesto2. Precipitación doble de Al

3. Defectos en un semiconductor4. Defectos reticulares

Alfonso Herrera
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Experimento de Young

El experimento de Young, también denominado experimento de la doble rendija, fue realizado en 1801 por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la naturaleza corpuscular u ondulatoria de la luz. Young comprobó un patrón de interferencias en la luz procedente de una fuente lejana al difractarse en el paso por dos rejillas, resultado que contribuyó a la teoría de la naturaleza ondulatoria de la luz.

Posteriormente, la experiencia ha sido considerada fundamental a la hora de demostrar la dualidad onda corpúsculo, una característica de la mecánica cuántica. El experimento también puede realizarse con electrones, átomos o neutrones, produciendo patrones de interferencia similares a los obtenidos cuando se realiza con luz, mostrando, por tanto, el comportamiento dual onda-corpúsculo de la materia.

Formulación clásica

La formulación original de Young es muy diferente de la moderna formulación del experimento y utiliza una doble rendija. En el experimento original un estrecho haz de luz, procedente de un pequeño agujero en la entrada de la cámara, es dividido en dos por una tarjeta de una anchura de unos 0.2 mm. La tarjeta se mantiene paralela al haz que penetra horizontalmente es orientado por un simple espejo. El haz de luz tenía una anchura ligeramente superior al ancho de la tarjeta divisoria por lo que cuando ésta se posicionaba correctamente el haz era dividido en dos, cada uno pasando por un lado distinto de la pared divisoria. El resultado puede verse proyectado sobre una pared en una habitación oscurecida. Young realizó el experimento en la misma reunión de la Royal Society mostrando el patrón de interferencias producido demostrando la naturaleza ondulatoria de la luz.

Formulación moderna

La formulación moderna permite mostrar tanto la naturaleza ondulatoria de la luz como la dualidad onda-corpúsculo de la materia. En una cámara oscura se deja entrar un haz de luz por una rendija estrecha. La luz llega a una pared intermedia con dos rendijas. Al otro lado de esta pared hay una pantalla de proyección o una placa fotográfica. Cuando una de las rejillas se cubre aparece un único pico correspondiente a la luz que proviene de la rendija abierta. Sin embargo, cuando ambas están abiertas en lugar de formarse una imagen superposición de las obtenidas con las rendijas abiertas individualmente, tal y como ocurriría si la luz estuviera hecha de partículas, se obtiene una figura de interferencias con rayas oscuras y otras brillantes.

Este patrón de interferencias se explica fácilmente a partir de la interferencia de las ondas de luz al combinarse la luz que procede de dos rendijas, de manera muy similar a como las ondas en la superficie del agua se combinan para crear picos y regiones más planas. En las líneas brillantes la interferencia es de tipo "constructiva". El mayor brillo se debe a la superposición de ondas de luz coincidiendo en fase sobre la superficie de proyección. En las líneas oscuras la interferencia es "destructiva" con prácticamente ausencia de luz a consecuencia de la llegada de ondas de luz de fase opuesta (la cresta de una onda se superpone con el valle de otra).

Alfonso Herrera
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Cristalografía de rayos X

La cristalografía de rayos X es una técnica consistente en hacer pasar un haz de rayos X a través de un cristal de la sustancia sujeta a estudio. El haz se escinde en varias direcciones debido a la simetría de la agrupación de átomos y, por difracción, da lugar a un patrón de intensidades que puede interpretarse según la ubicación de los átomos en el cristal, aplicando la ley de Bragg.

Es una de las técnicas que goza de mayor prestigio entre la comunidad científica para dilucidar estructuras cristalinas, debido a su precisión y a la experiencia acumulada durante décadas, elementos que la hacen muy fiable. Sus mayores limitaciones se deben a la necesidad de trabajar con sistemas cristalinos, por lo que no es aplicable a disoluciones, a sistemas biológicos in vivo, a sistemas amorfos o a gases.

Es posible trabajar con monocristales o con polvo microcristalino, consiguiéndose diferentes datos en ambos casos. Para la resolución de los parámetros de la celda unidad puede ser suficiente la difracción de rayos X en polvo, mientras que para una dilucidación precisa de las posiciones atómicas es conveniente la difracción de rayos X en monocristal.

Aspectos Físicos

El fenómeno de difracción es debido esencialmente a la relación de fases entre dos o más ondas. Las diferencias de camino óptico conducen a diferencias de fase que a su vez producen un cambio en la amplitud. Cuando dos ondas están completamente desfasadas se anulan entre sí, ya sea porque sus vectores sean cero o porque estos sean igual en magnitud pero en sentido contrario. Por el contrario, cuando dos ondas están en fase, la diferencia de sus caminos ópticos es cero o un número entero de la longitud de onda.

Cuando consideramos la difracción de rayos x monocromáticos y paralelos en estructuras ordenadas, existen diferencias de camino óptico. Esto sucede por dispersión y no por alguna interacción entre los rayos x y los átomos de las estructuras. La difracción de rayos x es descrita completamente por la Ley de Bragg.

La difracción de rayos x ocurre sólo cuando la longitud de onda es del mismo orden que los centros de dispersión. Así, para estas ondas electromagnéticas se necesitan rejillas de dispersión del orden de Å. Sólo en la naturaleza y, en particular, en las separaciones interatómicas se encuentran estas distancias. Lo anterior se deduce de la ley de Bragg. Se debe cumplir que sen(θ) sea menor que uno entonces se tiene que

Por consiguiente nλ debe ser menor que 2d. Para el primer máximo de difracción n=1 y se debe cumplir para que haya difracción que λ <>

Métodos de Difracción de Rayos X

Existen tres métodos para producir difracción de rayos x. Método de Laue, Método de rotación de cristal y método Powder.

Método de Laue

Consiste en hacer incidir en un cristal un espectro continuo de rayos x, de tal manera que para cada longitud de onda, existirá un determinado ángulo. El método de transmisión de Laue (a) en la figura consiste en colocar esta película detrás del cristal como se ve a la derecha. Por el contrario, en el método de reflexión (b) en la figura de Laue, la película se interpone entre la fuente y el cristal, esta posee un agujero que deja pasar los haces de rayos x.

En el método de transmisión de Laue los haces difractados forman un patrón de machas circular o elíptico y en cambio, el patrón formado en el método de reflexión de Laue son hipérbolas

Método de rotación de cristal

Se hace incidir un haz de rayos x monocromáticos sobre un cristal. Para detectar los haces difractados, la película es envuelta de forma cilíndrica de tal manera que rodee al cristal. El cristal se hace girar sobre el eje perpendicular al haz incidente, el cual coincide con el eje del cilindro. Para encontrar el ángulo al cual se cumple la ley de Bragg, el giro del cristal se hace sucesivamente de 0° a 90°, hasta encontrar el patrón de difracción.

Método Powder

El cristal a analizar es reducido a polvo de tal manera que forme un conjunto de pequeños cristales. Si se tuviese un cristal y en él se hiciera incidir un haz monocromático, el haz se difractaría a un ángulo en particular. Al hacer girar este cristal de 0° a 360°, el haz formará un cono cuyo eje coincide con el del haz incidente. El interés de este método en tomar varios cristales, es formar este cono con las distintas orientaciones posibles de los diversos cristales

Ley de Bragg

La fórmula de Bragg permite calcular la longitud de onda de los rayos a partir de la constante reticular d, o inversamente, ésta última si se conoce la longitud de onda, y de aquí su doble aplicación al estudio de los rayos X y de la estructura de los cristales. Esta técnica también juega un importante papel en los estudios de la estructura de líquidos y moléculas orgánicas, y ha sido decisiva en la determinación de la estructura de la doble hélice del ADN y subsiguiente investigación en genética molecular.

Alfonso Herrera

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Interacción de los electrones con la materia

A diferencia de otros tipos de radiación utilizados en estudios de difracción de materiales, tales como los rayos-X y los neutrones, los electrones son partículas que poseen carga e interactúan con la materia a través de la fuerza eléctrica. Esto significa que los electrones que inciden son influenciados tanto por la carga positiva del núcleo atómico como por los electrones que rodean el núcleo. En comparación, los rayos-X interactúan con la distribución espacial de los electrones en las capas exteriores (electrones de valor), mientras que los neutrones son dispersados por la fuerza de la interacción nuclear fuerte del núcleo. Además, el momento magnético de los neutrones es diferente de cero, por lo que también son dispersados por campos magnéticos. La diferencia en la manera en la que las tres formas de radiación interactúan con la materia permite que se puedan utilizar en diferentes tipos de análisis.

Intensidad del haz difractado



En la aproximación cinemática para la difracción de electrones, la intensidad del haz difractado está dada por:





es la función de onda del haz difractado y es el llamado factor estructural que es dado por:

donde es el vector de dispersión del haz difractado, es la posición de un átomo i dentro de la celda unidad, y fi es la capacidad de dispersión de un átomo, también llamado factor de forma atómico. El total es la suma de todos los átomos en la celda unidad.

El factor estructural describe la forma en que un haz de electrones será dispersado por los átomos de la celda unidad del cristal, tomando en cuenta las diferencias en la capacidad de dispersión de los elementos en el término fi. Dado que los átomos están distribuidos espacialmente en el grupo atómico, habrá una diferencia en la fase cuando se considere la amplitud de dispersión de dos átomos dados. Este desplazamiento de la fase está tomado en cuenta en el término exponencial de la ecuación.

El factor de forma atómico, o capacidad de dispersión, de un elemento depende del tipo de radiación que se utiliza dado que los electrones interactúan con la materia en forma diferente de como lo hacen, por ejemplo los rayos-X.

Longitud de onda de los electrones

La longitud de onda de un electrón está dada por la ecuación De Broglie:

Donde h es la constante de Planck y p el momento del electrón. Los electrones son acelerados en un potencial eléctrico U hasta la velocidad deseada:

Aquí mo es la masa del electrón, y e es la carga elemental. La longitud de onda del electrón será:

Sin embargo, en un microscopio de electrones la aceleración potencial es usualmente de varios miles de voltios lo que acelera al electrón a una considerable fracción de la velocidad de la luz. Un microscopio electrónico por escaneo puede operar con una aceleración potencial de 10,000 voltios (10 kV) con lo que el electrón alcanza una velocidad de aproximadamente un 20% de la velocidad de la luz, mientras que un microscopio electrónico de transmisión puede operar a 200 kV elevando la velocidad del electrón hasta un 70% de la velocidad de la luz. Por consiguiente, necesitamos tomar en cuenta los efectos relativistas. La ecuación de la longitud de onda del electrón quedaría modificada de esta forma:

Donde c es la velocidad de la luz. El primer término en esta expresión se reconoce como la expresión derivada no-relativista, mientras que el último término se conoce como el factor de corrección relativista. La longitud de onda de los electrones en un microscopio electrónico de escaneo a 10 kV es entonces de 12.3 x 10-12 m (12.3 pm) mientras que en un microscopio electrónico de transmisión operando a 200 kV la longitud de onda es de 2.5 pm. En comparación, la longitud de onda de los rayos-X utilizados en un difracción de rayos-X está en el orden de los 100 pm (Cu kα: λ=154 pm).

Alfonso Herrera
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