λ = h/p [Ec. 1]
Siendo h la llamada constante de Planck: h = 6.626 x 10-34 J.s.
Según esta expresión un electrón (masa del electrón: mc2 = 511 keV) acelerado por una diferencia de potencial entre 1 y 10 kV, es decir con una energía cinética entre 1 y 10 keV, a la cual corresponde un momento p entre 32 y 101 keV/c, tiene una longitud de onda λ entre 0.39 A y 0.12 A. En el caso de fotones estos valores para λ están en el rango de los rayos X. Por tanto electrones con estas energías podrán exhibir fenómenos de interferencia análogos a los que presentan los rayos X.
Uno de los fenómenos ondulatorios más característicos de los rayos X es su dispersión por cristales (sólidos cristalinos) con distancias interatómicas comparables a su longitud de onda. Se trata de la denominada dispersión o difracción de Bragg que analizaremos para su aplicación a electrones.
Dispersión o difracción de Bragg
En 1912, W. Friedrich y P. Knipping, a partir de una sugerencia de M. Von Laue, hicieron que un haz colimado de rayos X pasase a través de un cristal detrás del cual se había colocado una placa fotográfica. Además de un haz central (correspondiente a la dirección incidente) observaron en la placa una distribución regular de puntos. Este patrón fue explicado ese mismo año por William Lawrence Bragg por lo que al fenómeno se le dio el nombre de dispersión o difracción de Bragg.
Este experimento confirmó dos hipótesis importantes: i) que los rayos X son una forma de radiación electromagnética y ii) que los átomos de un cristal están distribuidos en una red regular.
La interferencia de dos rayos puede darse después de ser dispersados por una serie de planos paralelos en los que se encuentran los átomos de un cristal. (hay diversas series de planos paralelos, ver Fig. 2). Dicha interferencia será constructiva (los rayos estarán en fase, intensidad máxima resultante, punto “brillante” en la pantalla) en las siguientes condiciones:
- Ambos rayos han de ser dispersados con el mismo ángulo con el que incidieron (α en la figura 1) independientemente de la longitud de onda, según la ley de reflexión de las ondas electromagnéticas.
- Entre los dos rayos dispersados por dos átomos en planos paralelos (incluyendo el caso del mismo plano) con ángulos iguales ha de haber una diferencia de caminos recorridos de un número entero de longitudes de onda, con lo cual, como muestra la figura 1, es fácil ver que:
2d sinѲ = n λ [Ec. 2]
siendo d la distancia interplanar para la serie de planos considerada, Ѳ = π/2 - α y n un número entero indicador del orden de la interferencia.
Fig. 1.- Esquema donde se muestra que para interferencia constructiva entre dos rayos, que son dispersados por átomos en dos planos atómicos paralelos, la diferencia de caminos – línea gruesa en color azul – es 2dsinѲ
Difracción de electrones
Análogamente a los rayos X los electrones pueden experimentar dispersión de Bragg. Si en vez de un cristal se usa como dispersor un sólido como el grafito, formado por microcristales con todas las orientaciones posibles, en la pantalla se observarán anillos de interferencia constructiva en lugar de puntos. Ello se debe a un efecto acumulativo: la dispersión por una serie de planos paralelos en un microcristal producirá, para un orden dado, un punto de interferencia constructiva en la pantalla; el conjunto de microcristales orientado simétricamente alrededor del eje determinado por la dirección del haz inicial dará lugar a la formación de un anillo. Por tanto por cada serie de planos paralelos (caracterizada por su distancia interplanar) en un microcristal se tendrá un conjunto de anillos, un anillo por cada orden de la interferencia.
Fig. 2.- Dibujo esquemático de un conjunto de átomos en un microcristal de grafito. En la distribución superior se observa una serie deplanos atómicos diferente a la de la distribución inferior. La distancia entre los dos planos de la distribución superior es la que llamamos d1, mientras que la de la inferior es d2.
Observación experimental: tubo de rayos catódicos
Un Tubo de difracción de electrones es un tubo de rayos catódicos en el cual electrones producidos mediante efecto termoiónico, por calentamiento de un filamento, son acelerados por una diferencia de potencial V y dispersados por una lámina de grafito. Los electrones salientes viajan por el interior de una ampolla esférica de vidrio en la que se ha hecho el vacío (para evitar colisiones de los mismos con moléculas de aire) hasta alcanzar el extremo de la ampolla en el cual hay una película de un material fluorescente. Cada impacto electrónico en ésta produce un punto luminoso por lo que la película juega el papel de pantalla en la que se proyectará el patrón de difracción.
Fig. 3.- Dibujo esquemático del Tubo de difracción de electrones.
Alfonso Herrera
Electronica del estado solido
seccion 1
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